Công thức tính độ dài đường phân giác (trong) của tam giác

Bài viết này sẽ đăng 2 công thức tính độ dài đường phân giác trong của một tam giác bất kì và chứng minh của chúng. Các kí hiệu Cho tam gi…

Bài viết này sẽ đăng 2 công thức tính độ dài đường phân giác trong của một tam giác bất kì và chứng minh của chúng.
Cho tam giác $ABC$. Gọi $AD$ là đường phân giác trong của góc $A$. Ta kí hiệu độ dài các đoạn thẳng như sau: $$AB=c, BC=a, CA=b, AD=l_a.$$
Độ dài đường phân giác trong của góc $A$ là
Ta có: $$dt(ABC)=dt(ABD)+dt(ACD)$$ nên:
$$\frac{1}{2}bc\sin A =\frac{1}{2} c l_a\sin \frac{A}{2} +\frac{1}{2} b l_a \sin \frac{A}{2}\\ \Rightarrow bc \sin A = l_a(b+c)\sin \frac{A}{2}\\ \Rightarrow l_a=\frac{{bc}}{{b + c}}\frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}.$$ Mà $\sin A = 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$ (công thức nhân đôi) nên từ đó ta có: $$l_a= \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}.$$
Tương tự ta có độ dài phân giác của các góc $B, C$ lần lượt là
Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 \dfrac{A}{2} =\dfrac{1+\cos A}{2}$, thay vào công thức trên thì ta được
Tính độ dài đường phân giác theo (khi biết) độ dài ba cạnh của tam giác.
Chứng minh 2. (Tào Hữu Huy)
Chứng minh 3. (xem trong file được nhúng phía dưới, nhiều cách)

Các kí hiệu

Cho tam giác $ABC$. Gọi $AD$ là đường phân giác trong của góc $A$. Ta kí hiệu độ dài các đoạn thẳng như sau: $$AB=c, BC=a, CA=b, AD=l_a.$$

Công thức 1

Độ dài đường phân giác trong của góc $A$ là

$$l_a= \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}.$$

Chứng minh.

Ta có: $$dt(ABC)=dt(ABD)+dt(ACD)$$ nên:

$$\frac{1}{2}bc\sin A =\frac{1}{2} c l_a\sin \frac{A}{2} +\frac{1}{2} b l_a \sin \frac{A}{2}\\ \Rightarrow bc \sin A = l_a(b+c)\sin \frac{A}{2}\\ \Rightarrow l_a=\frac{{bc}}{{b + c}}\frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}.$$ Mà $\sin A = 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$ (công thức nhân đôi) nên từ đó ta có: $$l_a= \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}.$$

Tương tự ta có độ dài phân giác của các góc $B, C$ lần lượt là

$$l_b= \frac{{2ac}}{{a + c}}\cos \frac{B}{2}.$$ $$l_c= \frac{{2ab}}{{a + b}}\cos \frac{C}{2}.$$

Hệ quả

Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 \dfrac{A}{2} =\dfrac{1+\cos A}{2}$, thay vào công thức trên thì ta được

$$l_a= \frac{{bc}}{{b + c}}\sqrt{2(1+\cos A)}.$$

Công thức 2

Tính độ dài đường phân giác theo (khi biết) độ dài ba cạnh của tam giác.

$$l_a^2=bc \left ( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right ).$$ hay $$l_a=\sqrt{bc \left ( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right )}.$$

Chứng minh 1. (Trần Công Hưng)

Chứng minh 2. (Tào Hữu Huy)

Chứng minh 3. (xem trong file được nhúng phía dưới, nhiều cách)

Theo Wuon Ju Hoang/Trao đổi Toán.
Người đăng: Mr. Math.

Người đăng: Mr. Math.